<Колебания механической системы с демпфированием
Вынужденные колебания
Наиболее неблагоприятными для работы ЭПиУ являются резонансные механические колебания.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания системы под воздействием гармонической силы Р=Ро sin ωo t.
Решение уравнения движения массы можно представить в виде:
Разделим правую и левую части m, тогда уравнение (11) с примет вид:
δo= β/2√mk; xст = Po/k; ωo = √k/m,
где,
δo – параметр, пропорциональный коэффициенту демпфирования;
xст – удлинение пружины, при условии действия силы Ро , Н;
ωo – круговая частота собственных колебаний, рад/с;
k – жесткость пружины, Н/м.
Общее решение уравнения может быть представлено в виде суммы однородного уравнения и частного решения, соответствующего гармонической силе Р(t)=Роsinωot. Физически это представляет наложение свободных и вынужденных колебаний. При этом результирующее колебание не будет гармоническим.
Характерной особенностью вынужденных колебаний является зависимость их амплитуды не только от параметров системы, величины возмущающей силы, но и от частоты возмущающей силы ω.
Так как свободные колебания через определенный промежуток времени затухают, то вынужденные колебания будут определяться второй частью уравнения:
x= μхстsin(ωt-φ);
μхст = А - амплитуда вынужденных колебаний;
μ – коэффициент динамичности или коэффициент динамического усиления, который показывает, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний системы по отношению к ее статическому смещению под действием силы Р в зависимости от коэффициента расстройки α.
μ =1/√4δо²α² +(1-α²)²;
α=ω/ωo - безразмерная величина пропорциональная частоте возбуждающей силы и называется коэффициентом расстройки.
Если частота возмущающей силы ω совпадает с собственной частотой ωо, то возникает явление механического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины, а при отсутствии затухания становится бесконечно большой. При резонансе сила упругости kx системы должна быть больше возмущающей силы Р и больше силы инерции mω2ox.
Собственная частота колебаний при условии резонанса может быть определена из выражения:
ωo = √k/m;
где,
ωo =2πfо, и следовательно:
fо=(1/2π) √k/m, Гц
Амплитуда вынужденных колебаний определяется согласно выражению:
А =μmaxхст ;
Статический прогиб в свою очередь равен:
xст = 250/f 2o, мм;
Амплитудное значение действующей силы Рo= k xст
μ max =1/2δо√1- δо²,
что соответствует частотной расстройке α=√1- δо². Зависимость коэффициента динамичности от частотной расстройки представлена на рис.8.
рис.8. Резонансные кривые
Как видно из графика силы неупругого сопротивления оказывают существенное влияние на амплитуду вынужденных колебаний именно в области резонанса. В дорезонансной и зарезонансной области их влияние незначительно.
При низкочастотных колебаниях силой затухания и силой инерции можно пренебречь, тогда действующая сила Ро=kx уравновешивается силой упругости. С возрастанием частоты (близкой к резонансной) силы затухания возрастают, но в большей степени возрастают силы инерции и достигают величины силы упругости пружины. Именно это явление и имеет место при резонансе.
mω2ox=kx;
Действующая сила Ро=βх′ уравновешивает силы затухания. При высокочастотных колебаниях силы упругости незначительны по сравнению с силами инерции, которые будут уравновешиваться возмущающей силой Ро= m ω²x.
Если собственная частота конструкции ωо выше диапазона частот возмущающих колебаний, то силы упругости должны быть больше возмущающей силы Ро, резонанс в этом случае не наступает и силы инерции при этом не учитываются.
Если собственная частота колебаний ωо лежит ниже диапазона заданных частот, то возмущающая сила Ро= mω2x, сила упругости kx будет намного меньше силы Ро.
Так как силы упругости определяют прочность конструкции РЭА, то при расчете на вибропрочность и виброустойчивость необходимо учитывать влияние всех трех видов рассмотренных колебаний (свободных, вынужденных и собственных).
